流体力学基本方程

本文介绍流体力学的基本方程及其推导

在开始阅读本文章之前，需要确保你了解

1. 流体力学中的两种描述：欧拉描述 拉格朗日描述
2. 控制体的概念

正文

控制体内的流体应当满足三大守恒定律：

• 质量守恒
• 动量守恒
• 能量守恒

让$U= \begin{bmatrix} \rho & \theta & E \end{bmatrix}$，守恒意味着 $\Delta U_{\text{控制体}} = 穿过控制面流入的净U$

• $\rho$ —— 质量密度
• $\theta$ —— 动量密度 $\theta = \rho \vec{v}$
• $E$ —— 能量密度 $E = \frac{p}{\gamma - 1} + \frac{1}{2} \rho \vec{v}^2$

写成公式形式如下(用负流出量代替流入量)

$$(\overline{U}_{t + \Delta t} - \overline{U}_{t})\Delta x \Delta y \Delta z = -[(F_{x+\frac{1}{2}\Delta x} - F_{x-\frac{1}{2}\Delta x})\Delta y \Delta z + (F_{y+\frac{1}{2}\Delta y} - F_{y-\frac{1}{2}\Delta y})\Delta x \Delta z + (F_{z+\frac{1}{2}\Delta z} - F_{z+\frac{1}{2}\Delta z})\Delta x \Delta y]$$

式中$F=F(U)$是守恒量的函数，称为通量函数，相应的它的三个分量就是质量通量、动量通量、能量通量

$$F(U) = \begin{bmatrix} F_\rho & F_\theta & F_E \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}$$

• $F(\rho) = \rho u$
• $F(\theta) = \rho u \vec{v} + \vec{p}$ —— 流过质量附带动量 + 表面力冲量
• $F(E) = uE + \vec{p} \cdot \vec{v} - k\frac{\partial T}{\partial x}$ —— 流过质量附带密度 + 表面力做功 + 热传导

小结

在这里写总结。